Vì H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) nên $SH\bot (ABCD)$

Xét tam giác BHC vuông tại B có $HC=\sqrt{B{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\frac{a\sqrt{13}}{3}$ .

Xét tam giác SHC vuông tại H, $\widehat{SCH}={{60}^{0}}$ nên có $SH=HC.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{39}}{3}$

Gọi M là điểm trên cạnh CD thỏa $HM//AD$, suy ra $(SHM)\bot (SCD)$ theo giao tuyến SM.

Dựng $HI\bot SM$ tại I $\Rightarrow HI=d(H,(SCD))$ . Xét tam giác SHM vuông tại H có đường cao HI nên

$\frac{1}{H{{I}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{M}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{a\sqrt{39}}{3} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{16}{13{{a}^{2}}}$

$\Rightarrow d(H,(SCD))=\frac{a\sqrt{13}}{4}$ .

Vì K là trung điểm của HC nên có $d(K,(SCD))=\frac{1}{2}d(H,(SCD))=\frac{a\sqrt{13}}{8}$ .

Đáp án: D