Cho hình phẳng H giới hạn bởi cc đường: y = xlnx, y = 0, x = e. Tính thể tích của khối trịn xoay tạo thnh khi quay hình H quanh trục Ox.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường y = xlnx và y = 0 là:

$\text{xlnx=0}\Leftrightarrow \ln x=0\text{ (Do }x>0\text{)}\Leftrightarrow x=1$

Thể tích phải tìm là: $\text{V=}\pi \int\limits_{\text{1}}^{\text{e}}{{{\text{y}}^{\text{2}}}dx=\pi \int\limits_{1}^{e}{{{(x\ln x)}^{2}}dx}}=\pi \int\limits_{1}^{e}{{{x}^{2}}{{\ln }^{2}}xdx}$

Đặt  $\left\{ \begin{align}  & \text{u=l}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x} \\  & \text{dv=}{{\text{x}}^{\text{2}}}dx \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du=\frac{2\ln x}{x}dx \\  & v=\frac{{{x}^{3}}}{3} \\ \end{align} \right.\text{ }$

Ta có $\int\limits_{1}^{e}{{{x}^{2}}{{\ln }^{2}}xdx}=\left. \frac{{{x}^{3}}}{3}{{\ln }^{2}}x \right|_{1}^{e}-\frac{2}{3}\int\limits_{1}^{e}{{{x}^{2}}\ln xdx=\frac{{{e}^{3}}}{3}-\frac{2}{3}\int\limits_{1}^{e}{{{x}^{2}}\ln xdx.}}$

Đặt $\left\{ \begin{align}  & \text{u=lnx} \\  & \text{dv=}{{\text{x}}^{\text{2}}}dx \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du=\frac{dx}{x} \\  & v=\frac{{{x}^{3}}}{3} \\ \end{align} \right.\text{.  }$

$\text{Ta co }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ :}\int\limits_{1}^{e}{{{x}^{2}}\ln xdx=\left. \frac{{{x}^{3}}}{3}\ln x \right|}_{1}^{e}-\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{e}{{{x}^{2}}dx}=\frac{{{e}^{3}}}{3}-\left. \frac{{{x}^{3}}}{9} \right|_{1}^{e}=\frac{2{{e}^{3}}+1}{9}$

Vậy  $\text{V=}\frac{\pi \text{(5}{{\text{e}}^{\text{3}}}\text{-2)}}{\text{27}}\text{ }$(ĐVTT)