Ta có $y=\frac{m-\cos x}{{{\sin }^{2}}x}=\frac{m-\cos x}{1-{{\cos }^{2}}x}$

 Đặt $t=\cos x,\,\,\,t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)$ , xét hàm $g\left( t \right)=\frac{m-t}{1-{{t}^{2}}}$, $t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)$

Hàm số nghịch biến trên $\left( \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2} \right)$ khi $g'\left( t \right)\le 0,\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)$

$\Leftrightarrow m\le \frac{{{t}^{2}}+1}{2t}$,$\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)$

Xét hàm $h\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}+1}{2t}$, $\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)$.

Ta có $h'\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-1}{2{{t}^{2}}}>0$, $\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)$

Lập bảng BBT trên $\left( 0;\frac{1}{2} \right)$, ta có $m\le \frac{5}{4}$  thỏa YCBT