Các bài toán hình về diện tích

 

Trong chương trình toán lớp 5 phần hình học: Tam giác, hình thang, tỉ số diện tích rất quan trọng và khó học. Đặc biệt kiến thức này còn có trong đề thi vào 6 các trường chất lượng cao nên học sinh lớp 5 phải học thật chắc chắn. Dưới đây hệ thống giáo dục trực tuyến vinastudy.vn xin giới thiệu một vài ví dụ về các bài toán tam giác liên quan đến tỉ số diện tích (Phần hình thang sẽ được giới thiệu vào bài viết sau). Mời quý phụ huynh, thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo !

HÌNH TAM GIÁC

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

- Hình tam giác ABC có, ba cạnh là: AB, AC và BC; Ba đỉnh là: đỉnh A, đỉnh B, đỉnh C.

- Đường cao của tam giác là đoạn thẳng kẻ từ đỉnh và vuông góc với đáy. Độ dài của đường cao là chiều cao của tam giác. (Học sinh cần nắm chắc đặc điểm của đường hạ từ đỉnh và xuống đáy tương ứng để áp dụng làm bài tập tốt)

- Chu vi tam giác: P = a + b + c;

Diện tích: $S=\frac{a\times h}{2}$

Chiều cao $h=\frac{S\times 2}{a}$

Cạnh đáy $a=\frac{S\times 2}{h}$

- Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông, diện tích tam giác vuông bằng $\frac{1}{2}$ lần tích hai cạnh góc vuông.

- Đơn vị đo và cách đổi: 1m²= 100dm²;  1dm²= 100cm².

BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1: Một hình tam giác có đáy 15cm và chiều cao 2,4cm. Tính diện tích hình tam giác đó ?

Bài giải:

Diện tích hình tam giác là:

15 x 2,4 : 2 = 18 (cm2)

Đáp số: 18cm2

Bài 2: Một hình tam giác có đáy 12cm và chiều cao 25mm. Tính diện tích hình tam giác đó ?

Bài giải:

Đổi: 25mm = 2,5 cm

Diện tích hình tam giác đó là:

12 x 2,5 : 2 = 15 (cm2)

Đáp số: 15cm2

Bài 3: Một lăng tẩm hình tam giác có diện tích 129m2, chiều cao 24m. Hỏi cạnh đáy của tam giác đó là bao nhiêu? 

Bài giải:

Cạnh đáy của tam giác đó là:

129 x 2 : 24 = 10,75 (m)

Đáp số: 10,75m

Bài 4: Một tấm bảng quảng cáo hình tam giác có tổng cạnh đáy và chiều cao là 28m, cạnh đáy hơn chiều cao 12m. Tính diện tích tấm bảng quảng cáo đó ?

Bài giải:

Độ dài cạnh đáy là:

(28 + 12) : 2 = 20 (m)

Độ dài chiều cao là:

28 – 20 = 8 (m)

Diện tích tấm bảng quảng cáo là:

20 x 8 : 2 = 80 (m2)

Đáp số: 80m2

Bài 5: Một hình chữ nhật có diện tích 630cm2 và diện tích này bằng 70% diện tích hình tam giác. Tính cạnh đáy hình tam giác, biết chiều cao là 2,4dm ?

Bài giải:

Đổi:  2,4dm = 24cm

Diện tích hình tam giác là:

630 : 70% = 900 (cm2)

Cạnh đáy hình tam giác là:

900 x 2 : 24 = 75 (cm)

Đáp số: 75cm

Bài 6: Một tấm bìa hình chữ nhật có diện tích 60464mm2 và diện tích này bằng $\frac{4}{3}$ diện tích tấm bìa hình tam giác. Tính cạnh đáy tấm bìa hình tam giác, biết chiều cao tấm bìa là 24cm ?

Bài giải:

Đổi 24cm = 240mm

Diện tích hình tam giác là:

60464 : $\frac{4}{3}$ = 45348 (mm2)

Cạnh đáy tấm bìa hình tam giác là:

45348 x 2 : 240 = 377,9 (mm)

Đáp số: 377,9mm

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông góc tại B, chu vi là 37dm. Cạnh AB bằng $\frac{2}{3}$ cạnh AC, cạnh BC bằng $\frac{4}{5}$ cạnh AC. Tính diện tích hình tam giác ABC ?

Bài giải:

Ta có: $\frac{2}{3}=\frac{10}{15}$ và $\frac{4}{5}=\frac{12}{15}$

Cạnh AC là 15 phần bằng nhau thì cạnh AB là 10 phần và BC là 12 phần như thế.

Độ dài cạnh AB là:

37 : (15 + 10 + 12) x 10 = 10 (dm)

Độ dài cạnh AC là:

37 : (15 + 10 + 12) x 15 = 15 (dm)

Độ dài cạnh BC là:

37 – 10 – 15 = 12 (dm)

Diện tích hình tam giác ABC là:

10 x 12 : 2 = 60 (dm2)

Đáp số: 60dm2

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông góc tại A, chu vi là 90cm. Cạnh AB bằng $\frac{4}{3}$ cạnh AC, cạnh BC bằng $\frac{5}{3}$cạnh AC. Tính diện tích hình tam giác ABC ?

Bài giải:

Cạnh AC là 3 phần bằng nhau thì cạnh AB là 4 phần và cạnh BC là 5 phần như thế

Độ dài cạnh AB là:

90 : ( 3 + 4 + 5 ) x 4 = 30 (cm)

Độ dài cạnh AC là:

90 : (3 + 4 + 5) x 3 = 22,5 (cm)

Diện tích hình tam giác ABC là:

30 x 22,5 : 2 = 337,5 (cm2)

Đáp số: 337,5 cm2

Bài 9: Một thửa đất hình tam giác có chiều cao là 10 m. Hỏi nếu kéo dài đáy thêm 4 m thì diện tích sẽ tăng thêm bao nhiêu m2?

Bài giải:

Nếu kéo dài đáy thêm 4m thì diện tích sẽ tăng thêm là:

10 x 4 : 2 = 20 (m2)

Đáp số: 20m2

Bài 10: Một hình tam giác ABC có cạnh đáy 3,5m. Nếu kéo dài cạnh đáy BC thêm 2,7m thì diện tích tam giác tăng thêm 5,265 m2. Tính diện tích hình tam giác ABC đó  ?

Bài giải:

Độ dài chiều cao của hình tam giác là:

5,265 x 2 : 2,7 = 3,9 (m)

Diện tích hình tam giác ABC là:

3,5 x 3,9 : 2 = 6,825 (m2)

Đáp số: 6,825 m2

TỰ LUYỆN BÀI TOÁN CƠ BẢN

Bài 1: Một khu vườn hình tam giác có diện tích 384m2, chiều cao 24m. Hỏi cạnh đáy của tam giác đó là bao nhiêu?

Bài 2: Một cái sân hình tam giác có cạnh đáy là 36m và gấp 3 lần chiều cao. Tính diện tích cái sân hình tam giác đó ?

Bài 3: Cho hình tam giác vuông ABC (góc A là góc vuông). Biết độ dài cạnh AC là 12dm, độ dài cạnh AB là 90cm. Hãy tính diện tích hình tam giác ABC ?

Bài 4: Cho hình tam giác vuông ABC tại A. Biết AC = 2,2dm, AB = 50cm. Hãy tính diện tích hình tam giác ABC ?

Bài 5: Hình tam giác MNP có chiều cao MH = 25cm và có diện tích là 2dm2. Tính độ dài đáy NP của hình tam giác đó ?

Bài 6: Một quán ăn lạ có hình dạng là 1 tam giác có tổng cạnh đáy và chiều cao là 24m, cạnh đáy bằng $\frac{1}{5}$ chiều cao. Tính diện tích quán ăn đó ?

Bài 7: Cho tam giác ABC có đáy BC = 2cm. Hỏi phải kéo dài BC thêm bao nhiêu để được tam giác ABD có diện tích gấp rưỡi diện tích tam giác ABC ?

Bài 8: Một hình tam giác có cạnh đáy bằng $\frac{2}{3}$ chiều cao. Nếu kéo dài cạnh đáy thêm 30dm thì diện tích của hình tam giác tăng thêm 27m2. Tính diện tích hình tam giác đó ?

Bài 9: Một hình tam giác có cạnh đáy bằng 7/4 chiều cao. Nếu kéo dài cạnh đáy thêm 5m thì diện tích của hình tam giác tăng thêm 30m2. Tính diện tích hình tam giác đó ?

Bài 10: Cho một tam giác ABC vuông ở A. Nếu kéo dài AC về phía C một đoạn CD dài 8cm thì tam giác ABC trở thành tam giác vuông cân ABD và diện tích tăng thêm 144cm2. Tính diện tích tam giác vuông ABC ?

TỈ SỐ DIỆN TÍCH HAI TAM GIÁC

Lưu ý:

Hai tam giác chung đáy thì tỉ số diện tích bằng tỉ số 2 đường cao tương ứng.

Hai tam giác chung đường cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số 2 đáy tương ứng.

BÀI TẬP MẪU

Bài 1: Cho tam giác ABC có diện tích 150$c{{m}^{2}}$ . M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC. Nối MN. Tính diện tích tam giác CMN ?

Bài giải:

Ta có: S_ABC = 2 x S_AMC (chung chiều cao hạ từ A xuống đáy BC và đáy BC = 2 x MC) 
Từ đó ta có: S_AMC = 150 : 2 = 75 ($c{{m}^{2}}$)
Ta có:S_AMC = 2 x S_CMN (chung chiều cao hạ từ M xuống đáy AC và đáy AC = 2 x NC)
Từ đó ta có: S_CMN = 75 : 2 = 37,5 ($c{{m}^{2}}$)

Đáp số: 37,5 $c{{m}^{2}}$

Bài 2: (Thi vào 6 trường THCS chuyên Ngoại Ngữ 2019 – 2020)

Cho hình vẽ. Tính tỉ số diện tích 2 tam giác BDF và AEF ?

Bài giải:

Ta có: AE = $\frac{1}{3}$ x EC nên ${{S}_{ABF}}=\frac{1}{3}\times {{S}_{BFC}}$

BD = $\frac{1}{3}$ x BC nên ${{S}_{BDF}}=\frac{1}{3}\times {{S}_{BFC}}$

Vậy ${{S}_{ABF}}={{S}_{BDF}}$ (1)

Ta có: DC = 2 x BD nên ${{S}_{ACF}}=2\times {{S}_{ABF}}$

EC = 4 x AE nên ${{S}_{ACF}}=4\times {{S}_{AEF}}$

Vậy $4\times {{S}_{AEF}}=2\times {{S}_{ABF}}$ hay $2\times {{S}_{AEF}}={{S}_{ABF}}$ (2)

Từ (1) và (2): ${{S}_{ABF}}=2\times {{S}_{AEF}}$

Vậy tỉ số là 2

Bài 3: (Thi vào 6 trường Hà Nội Amsterdam 2013 – 2014)

Cho hình chữ nhật ABCD, F là một điểm bất kì trên cạnh AD, BF cắt CD kéo dài tại điểm E. Nối điểm A với điểm E. Tính diện tích tam giác AEF, biết AF = 3cm, BC = 5cm, AB = 7 cm ?

Bài giải:

 

Ta có: ${{S}_{ABE}}={{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\times AB\times BC=\frac{1}{2}\times 7\times 5=17,5\left( c{{m}^{2}} \right)$

${{S}_{ABF}}=\frac{1}{2}\times AB\times AF=10,5\left( c{{m}^{2}} \right)$

Suy ra diện tích tam giác AEF là:

${{S}_{AEF}}={{S}_{ABE}}-{{S}_{ABF}}=17,5-10,5=7\left( c{{m}^{2}} \right)$

                          Đáp số: 7 cm².

Bài 4: (Thi vào 6 trường Hà Nội Amsterdam 2011 – 2012)

Cho tam giác ABC biết BM = MC; CN = 3 x NA (như  hình vẽ) và diện tích tam giác AEN  bằng  27 cm².Tính diện tích tam giác ABC ?

 

Bài giải:

 Nối E với C và B với N.

Ta có: CN = 3 x NA nên ${{S}_{CEN}}=3\times {{S}_{AEN}}=3\times 27=81\left( c{{m}^{2}} \right)$

Do BM = MC nên ${{S}_{EMC}}={{S}_{EMB}}$  và ${{S}_{BMN}}={{S}_{MNC}}$ vậy ${{S}_{BEN}}={{S}_{ENC}}=81\left( c{{m}^{2}} \right)$

${{S}_{ABN}}={{S}_{BEN}}-{{S}_{AEN}}=81-27=54\left( c{{m}^{2}} \right)$

Diện tích tam giác ABC là:

54 x 4 = 216 ($c{{m}^{2}}$ )

Đáp số: 216 $c{{m}^{2}}$

Bài 5: (Thi vào 6 trường Archimedes Academy 2019 – 2020)

Cho hình vẽ bên biết ${{S}_{1}}^{{}}=12c{{m}^{2}}$. Tính ${{S}_{2}}$

Bài giải:

${{S}_{ABQ}}={{S}_{1}}:\frac{2}{3}=12:\frac{2}{3}=18\left( c{{m}^{2}} \right)$

\[{{S}_{AQC}}=2\times {{S}_{ABQ}}=2\times 18=36\left( c{{m}^{2}} \right)\]

${{S}_{AQN}}=\frac{1}{3}\times {{S}_{AQC}}=\frac{1}{3}\times 36=12\left( c{{m}^{2}} \right)$

${{S}_{AMN}}={{S}_{AMQ}}+{{S}_{AQN}}=12+12=24\left( c{{m}^{2}} \right)$

${{S}_{ABC}}=\frac{3}{2}\times \frac{3}{1}\times {{S}_{AMN}}=\frac{9}{2}\times 24=108\left( c{{m}^{2}} \right)$

${{S}_{ABP}}=\frac{1}{3}\times {{S}_{ABC}}=\frac{1}{3}\times 108=36\left( c{{m}^{2}} \right)$

${{S}_{2}}={{S}_{ABC}}-{{S}_{ABP}}-{{S}_{AQN}}=108-36-12=60\left( c{{m}^{2}} \right)$

BÀI TẬP TỰ LUYỆN NÂNG CAO

Bài 1: (Thi vào 6 trường Archimedes Academy 2019 – 2020 – đợt 2)

Cho tam giác với các tỷ lệ như hình.

Biết ${{S}_{3}}-{{S}_{1}}=84c{{m}^{2}}.$ Tính ${{S}_{4}}-{{S}_{2}}$ .

Bài 2: (Thi vào 6 trường Hà Nội Amsterdam 2010 – 2011)

Cho tam giác ABC có diện tích là 180 cm2. Biết AB = 3 x BM; AN = NP=PC; QB=QC. Tính diện tích tam giác MNPQ ? (xem hình vẽ)

Bài 3: (Thi vào 6 trường Hà Nội Amsterdam 2006 – 2007)

Cho tam giác ABC có diện tích bằng 18cm2.  Biết DA = 2 x DB ; EC = 3 x EA ; MC = MB (hình vẽ). Tính tổng diện tích hai tam giác MDB và MCE ?

Bài 4: (Thi vào 6 trường Hà Nội Amsterdam 2004 – 2005)

Trong hình vẽ bên có NA = 2 x NB; MC = 2 x MB và diện tích tam giác OAN là 8cm². Tính diện tích BNOM ?

Bài 5: (Thi vào 6 trường Hà Nội Amsterdam 2001 – 2002)

Cho tam giác ABC và các điểm D, E, G, H sao cho BD = $\frac{1}{3}$x AB; AE = CG = $\frac{1}{3}$ x AC;   CH =$\frac{1}{3}$x BC. Tính diện tích hình BDEGH ? ( Biết diện tích của tam giác ABC là 180cm² )

------------------------------------

Chúc các con học tốt!

 Cộng đồng zalo giải đáo bài tập 

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé 

Con sinh năm 2009	https://zalo.me/g/cieyke829
Con sinh năm 2010	https://zalo.me/g/seyfiw173
Con sinh năm 2011	https://zalo.me/g/jldjoj592
Con sinh năm 2012	https://zalo.me/g/ormbwj717
Con sinh năm 2013	https://zalo.me/g/lxfwgf190
Con sinh năm 2014	https://zalo.me/g/bmlfsd967
Con sinh năm 2015	https://zalo.me/g/klszcb046