Phương trình đã cho tương đương với $(y-1){{x}^{2}}+(2y-1)x+2y-1=0(*)$

Khi $y=1$ thì (*) $\Leftrightarrow x=-1$

Khi $y\ne 1$ thì (*) là phương trình bậc hai nên nó có nghiệm khi và chỉ khi

$\Delta ={{(2y-1)}^{2}}-4(y-1)(2y-1)\ge 0\Leftrightarrow 4{{y}^{2}}-4y+1-(8{{y}^{2}}-12y+4)\ge 0$

$\Leftrightarrow -4{{y}^{2}}+8y-3\ge 0\Leftrightarrow \frac{1}{2}\le y\le \frac{3}{2}$

Kết hợp 2 trường hợp ta có giá trị lớn nhất của y là $\frac{3}{2}$