Ta có:

$\left\{ \begin{align}  & BD\bot (ABC) \\  & AC\bot (ABD) \\ \end{align} \right.$

Dễ thấy tâm đường tròn ngoại tiếp của ABC là trung điểm BC

Trong mặt phẳng (DAC), từ trung điểm của AC kẻ đường thẳng d song song với DA,cắt  DC tại H

=>H là trung điểm của DC

Từ trung điểm của DB vẽ đường thẳng song song với BC=> cắt DC tại chính điểm H

=>H là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

$R=\frac{DC}{2}=\frac{\sqrt{D{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+(A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}})}}{2}=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}$

Vậy đáp án là D