Phương trình đã cho tương đương với $\left( y-1 \right){{x}^{2}}+\left( 2y-1 \right)x+2y-1=0$ (*)

Khi $y=1$ thì $\left( * \right)\Leftrightarrow x=-1$

Khi $y\ne 1$ thì $\left( * \right)$ là phương trình bậc hai nên nó có nghiệm khi và chỉ khi

$\Delta ={{\left( 2y-1 \right)}^{2}}-4\left( y-1 \right)\left( 2y-1 \right)\ge 0\Leftrightarrow 4{{y}^{2}}-4y+1-\left( 8{{y}^{2}}-12y+4 \right)\ge 0$

$\Leftrightarrow -4{{y}^{2}}+8y-3\ge 0\Leftrightarrow \frac{1}{2}\le y\le \frac{3}{2}$

Kết hợp 2 trường hợp ta có giá trị lớn nhất của y là $\frac{3}{2}$