Hàm số đã cho liên tục trên $\left[ 0;1 \right]$ và $y'=\frac{1+{{m}^{2}}}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in \left[ 0;1 \right]$

Có $y\left( 0 \right)=-{{m}^{2}};y\left( 1 \right)=\frac{1-{{m}^{2}}}{2};y\left( 0 \right)-y\left( 1 \right)=-{{m}^{2}}-\frac{1-{{m}^{2}}}{2}=\frac{-{{m}^{3}}-1}{2}<0;\forall m\Rightarrow y\left( 0 \right)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên $\left[ 0;1 \right]$ là $\frac{1-{{m}^{2}}}{2}$