$y=f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+mx}{1-x}$

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$. Ta có $f'\left( x \right)=\frac{-{{x}^{2}}+2x+m}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}$

Hàm số có cực trị $\to f'\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 1 hay $\left\{ \begin{align} & {{\Delta }_{-{{x}^{2}}+2x+m}}>0 \\ & f'\left( 1 \right)\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m>-1$. Khi đó ta giả sử 2 điểm cực trị lần lượt là $A\left( {{x}_{1}};f\left( {{x}_{1}} \right) \right),B\left( {{x}_{2}};f\left( {{x}_{2}} \right) \right)$. Theo hệ thức Viet ta có $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-m \\ \end{align} \right.\,\,\left( 1 \right)$

Mặt khác ta lại có

$f'\left( {{x}_{1}} \right)=\frac{\left( 2{{x}_{1}}+m \right)\left( 1-{{x}_{1}} \right)+\left( x_{1}^{2}+m{{x}_{1}} \right)}{{{\left( 1-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}=0\to \left( 2{{x}_{1}}+m \right)\left( 1-{{x}_{1}} \right)$

Nên ta có $f\left( {{x}_{1}} \right)=-2{{x}_{1}}-m$ tương tự ta có $f\left( {{x}_{2}} \right)=-2{{x}_{2}}-m$

Khi đó khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của hàm số là

$AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}}=\sqrt{5}\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$

Áp dụng (1) suy ra $m=4$