$y=\frac{{{x}^{2}}+3}{x-1}\to y'=\frac{{{x}^{2}}-2x-3}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}},y'=0\to \left[ \begin{align} & {{x}_{1}}=-1 \\ & {{x}_{2}}=3 \\ \end{align} \right.$

Hàm số liên tục và xác định trên $\left[ 2;4 \right]$ nên

$\underset{x\in \left[ 2;4 \right]}{\mathop{Min}}\,y=Min\left\{ y\left( 2 \right),y\left( 3 \right),y\left( 4 \right) \right\}=y\left( 3 \right)=6$