$y=\frac{x+1}{x-2}\to TCN:y=1;$ TCĐ: $x=2$. Gọi điểm $C\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in $ đồ thị hàm số đã cho

Theo bài ra ta có khoảng cách từ C đến 2 đường tiệm cận là

$d=\left| {{x}_{0}}-2 \right|+\left| {{y}_{0}}-1 \right|=\left| {{x}_{0}}-2 \right|+\left| \frac{3}{{{x}_{0}}-2} \right|\ge 2\sqrt{3}$

Dấu bằng xảy ra khi ${{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}=3\to \left[ \begin{align} & {{x}_{0}}=2+\sqrt{3} \\ & {{x}_{0}}=2-\sqrt{3} \\ \end{align} \right.$ nên chọn B