Phân tích:

Cách 1: làm thông thường: Với đề bài dạng này cho khá nhiều dữ kiện thì ra sẽ chọn phương pháp đặt vtpt của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n}=(a;b;c),({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0)$ là VTPT của (P).

Khi đó $(P):a(x-4)+b(y-3)+c(z-4)=0$

Vì $(P)||\Delta $ nên $\overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}$. Suy ra $-3a+2b+2c=0\Leftrightarrow a=\frac{2b+2c}{3}$ (1)

Theo đề ta có (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên:

$d(I;(P))=R\Leftrightarrow \frac{\left| -3a-b-c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=3$ (2)

Từ (1) và (2) ta có ${{(b+c)}^{2}}={{\left( \frac{2a+2c}{3} \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$$\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}-5bc+2{{c}^{2}}=0$ (3)

$\Leftrightarrow (2b-c)(b-2c)=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} b=\frac{c}{2}  \\ b=2c  \\ \end{matrix} \right.$

Với b=2c, chọn b=2, c=1 ⟹c=2, khi đó (P): $2x+2y+z-18=0$ (không thỏa mãn vì chứa ∆).

Với $b=\frac{c}{2}$, chọn c=2⟹b=1,

$\left( P \right)\text{ }=\text{ }2x+y+2z-19=0$ (Thỏa mãn).

Cách 2: thử từng đáp án một.

Chú ý: Nhiều độc giả không loại trường hợp trên nên dẫn đến chọn B.