Phân tích: Ta thấy tất cả các phương án đều liên quan đến cực trị, do vậy trước tiên ta xét phương trình $6{{x}^{2}}-6(2m+1)x+6m(m+1)=0$

$\begin{align} & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-(2m+1)x+m(m+1)=0 \\ & \Delta ={{(2m+1)}^{2}}-m(m+1)=3{{m}^{2}}+3m+1>0 \\ \end{align}$

Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

Với A: Ta có $\left| {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right|=1\Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=1$

$\Leftrightarrow {{(2m+1)}^{2}}-4m(m+1)=1$

Vậy đáp án A đúng,