Đặt $V={{V}_{S.ABCD}}$ , ta có:

${{V}_{S.CDA}}=\frac{1}{3}{{V}_{S.ABCD}};{{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}{{V}_{S.ABCD}}$

Mặt phẳng (P) đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB cắt các cạnh SA, SB lần lượt tại M, N. Khi đó $MN\parallel AB$ và $\frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SB}=\frac{2}{3}$

Ta có:

\[\begin{align}  & \frac{{{V}_{S.CDM}}}{{{V}_{S.CDA}}}=\frac{SC}{SC}.\frac{SD}{SD}.\frac{SM}{SA}=\frac{2}{3}\Rightarrow {{V}_{S.CDM}}=\frac{2}{3}{{V}_{S.CDA}}=\frac{2}{9}V \\ & \frac{{{V}_{S.MNC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SC}{SC}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}} \\ & \Rightarrow {{V}_{S.MNC}}=\frac{4}{9}{{V}_{S.ABC}}=\frac{8}{27}V \\ &  \\ \end{align}\]

Bởi vậy:

${{V}_{S.CDMN}}={{V}_{S.CDM}}+{{V}_{S.MNC}}=\frac{2}{9}V+\frac{8}{27}V=\frac{14}{27}V$