Gọi O là tâm của đáy ABC và M là trung điểm cạnh BC. Hạ $MN\bot A'A$ . Do $BC\bot (A'AM)$ nên MN là đoạn vuông góc chung của A’A và BC $\Rightarrow MN=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Ta có:

$\begin{align} & AM=\frac{a\sqrt{3}}{2};AO=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}; \\ & AN=\sqrt{A{{M}^{2}}-M{{N}^{2}}}=\frac{3a}{4} \\ \end{align}$

Hai tam giác A’OA và MNA đồng dạng nên

$\begin{align} & \frac{A'O}{MN}=\frac{AO}{AN}\Rightarrow A'O=\frac{MN.AO}{AN}=\frac{a}{3} \\ & {{V}_{A'.BB'.C'C}}={{V}_{A'B'C'.ABC}}-{{V}_{A'.ABC}}=A'O.{{S}_{ABC}}=\frac{2}{3}A'O.{{S}_{ABC}}=\frac{2}{3}.\frac{a}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{18} \\ \end{align}$