Ta có: $z=x+yi;(x,y\in \mathbb{R})$

${{z}^{3}}+12i=\overline{z}\Leftrightarrow {{(x+yi)}^{3}}+12i=x-yi$

$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x{{y}^{2}}+(3{{x}^{2}}y-{{y}^{3}}+12)i=x-yi$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}y=x(1) \\ & 3{{x}^{2}}y-{{y}^{3}}+12=-y(2) \\ \end{align} \right.$

Do $x>0\Rightarrow {{x}^{2}}=3{{y}^{2}}+1$ . Thế vào (2) ta được

$3(3{{y}^{2}}+1)y-{{y}^{3}}+12=-y\Leftrightarrow 2{{y}^{3}}+y+3=0(3)$

Giải (3) ta được: $y=-1\Rightarrow {{x}^{2}}=4$ . Do $x>0$  nên $x=2$

Vậy $z=2-i\Rightarrow \operatorname{Im}(z)=-1$

Đáp án đúng là C.