Phân tích:

Giả sử $z=x+yi(x,y\in \mathbb{R})$ . Từ giả thiết suy ra:

$\left| \frac{z+2-i}{z+1-i} \right|=\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| x+2+(y-1)i \right|=\sqrt{2}\left| x+1-(y+1)i \right|$

$\begin{align} & \Leftrightarrow {{(x+2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=2{{(x+1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}=10 \\ \end{align}$

Tập hợp biểu diễn của z là đường tròn tâm $I(0;-3)$ , bán kính $R=\sqrt{10}$

Gọi M là điểm biểu diễn của z. Ta có: $\left| IM-IO \right|\le OM\le IM+OI\Leftrightarrow \sqrt{10}-3\le OM\le \sqrt{10}+3$

$\begin{align} & {{\left| z \right|}_{\min }}\Leftrightarrow O{{M}_{\min }}=\sqrt{10}-3 \\ & {{\left| z \right|}_{\max }}\Leftrightarrow O{{M}_{\max }}=\sqrt{10}+3 \\ \end{align}$

$\Rightarrow \frac{{{\left| z \right|}_{\min }}+{{\left| z \right|}_{\max }}}{2}=\frac{(\sqrt{10}-3)\sqrt{10}+3)}{2}=\sqrt{10}$

Vậy đáp án đúng là D.

Sai lầm thường gặp:  Không hiểu thế nào là trung bình cộng và nhầm tưởng sang tổng của hai số có thể gây ra đáp án C.