Giải phương trình: ${{3}^{x}}=2{{x}^{2}}+1$ ta được: $x=0;x=1;x=2$

Do đó, ta có:

$I=\int_{-1}^{3}{\min ({{3}^{x}};2{{x}^{2}}+1)dx}=\int_{-1}^{3}{{{3}^{x}}dx}+\int_{0}^{1}{(2{{x}^{2}}+1)dx}+\int_{1}^{2}{{{3}^{x}}dx}+\int_{2}^{3}{(2{{x}^{2}}+1)dx}$

$=\left. \frac{{{3}^{x}}}{\ln 3} \right|_{-1}^{0}+\left. \left( \frac{2}{3}{{x}^{3}}+x \right) \right|_{0}^{1}+\left. \frac{{{3}^{x}}}{\ln 3} \right|_{1}^{2}+\left. \left( \frac{2}{3}{{x}^{3}}+x \right) \right|_{2}^{3}=\frac{2}{3\ln 3}+\frac{5}{3}+\frac{6}{\ln 3}+\frac{41}{3}=\frac{46}{3}+\frac{20}{3\ln 3}$

Vậy đáp án đúng  là B

Nhận xét: Bài toán khó nhất ở bước giải phương trình để tìm giá trị nhỏ hơn trong mỗi khoảng giá trị.