Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4mx=4x({{x}^{2}}-m)$, điều kiện có 3 cực trị là $m>0$ .

Khi đó cực trị là $A(0;2),B(\sqrt{m;}-{{m}^{2}}+2);C(-\sqrt{m};-{{m}^{2}}+2)$ , tam giác ABC cân tại A. Tâm I của đường tròn (ABC) nằm trên trục tung $\Rightarrow I(0;y)$

Ta có $IA=IB\Rightarrow I\left( 0;2-\frac{1}{2}{{m}^{2}}-\frac{1}{2m} \right)$

Đường tròn (ABC) qua $D\left( \frac{3}{5};\frac{9}{5} \right)$

$\Leftrightarrow ID=IA\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{5}-\frac{1}{2}{{m}^{2}}-\frac{1}{2m} \right)}^{2}}={{\left( \frac{1}{2}{{m}^{2}}+\frac{1}{2m} \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{m}^{2}}+\frac{1}{2m}-1=0\Leftrightarrow m=1$ hoặc $m=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

(do $m>0$ ). Vậy đáp án đúng là A.

Sai lầm thường gặp:  Quên điều kiện $m>0$ nên có thể ra đáp án B.