Ta có $y'=4x({{x}^{2}}-m)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & {{x}^{2}}=m \\ \end{align} \right.$

Để hàm số có CĐ, CT thì $m>0$

Khi đó, đồ thị hàm số có các điểm CĐ, CT là $A(0;3m+1);B(-\sqrt{m};-{{m}^{2}}+3m+1);$

$C(\sqrt{m};-{{m}^{2}}+3m+1)$

Vì $A\in Oy;B,C$ đối xứng với nhau qua Oy nên:

${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right|.\left| {{x}_{B}}-{{x}_{C}} \right|={{m}^{2}}.\sqrt{m}=1\Leftrightarrow m=1(tm)$

Đáp án đúng là C.

Sai lầm thường gặp:  Trong công thức diện tích thiếu $1/2$ nên có thể dẫn tới đáp án A. Bài toán này sẽ phức tạp nếu không để ý tới tính đối xứng của B và C.