Gọi AD và BC cắt nhau tại E. $2\overset{\to }{\mathop{AB}}\,$ =$\overset{\to }{\mathop{DC}}\,$nên AB là đường trung bình $\Delta $EDC$\Rightarrow ED=2AD=6a$ . Gọi H và K lần lượt là trung điểm AB và CD thì ta có EK vuông góc với CD và HK là trục đối xứng của ABCD.

$EK=\sqrt{E{{D}^{2}}-D{{K}^{2}}}=4a\sqrt{2}$ ;$EH=\frac{EK}{2}=2a\sqrt{2}$

Khối nón xoay sinh bởi hình thang ABCD khi quay quanh trục của nó chính là phần thể tích nằm giữa 2 khối nón:

+Khối nón 1: Có đáy là hình tròn tâm K, bán kính KD=2a, đường cao EK=$4a\sqrt{2}$

+Khối nón 2: Có đáy là hình tròn tâm H, bán kính HA=a, đường cao $EH=2a\sqrt{2}$

Do đó thể tích cần tìm là

$V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=\frac{1}{3}.{{(2a)}^{2}}.\pi .4a\sqrt{2}-\frac{1}{3}.{{a}^{2}}.\pi .2a\sqrt{2}=\frac{14{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$