Ở bài toán này máy tính dường như không giúp được nhiều trong việc giải quyết bài toán, đây là bài toán sử dụng phương pháp tích phân thành phần ở mức độ vận dunjng.

Đặt

$\left\{ \begin{align} & u=3+\ln x \\ & v=\frac{dx}{{{(x+1)}^{2}}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & u=\frac{dx}{x} \\ & v=\frac{-1}{x+1}+1=\frac{x}{x+1} \\ \end{align} \right.$

Áp dụng công thức tính tích phân thành phần $\int\limits_{a}^{b}{udv=\left. uv \right|_{a}^{b}}-\int\limits_{a}^{b}{vdu}$ thì ta được

$I=\left. \frac{(3+\ln x)x}{x+1} \right|_{1}^{3}-\int\limits_{1}^{3}{\frac{dx}{x+1}}=\left. \frac{(3+\ln x)x}{x+1} \right|_{1}^{3}-\left. \ln (x+1) \right|_{1}^{3}$

$I=\left( \frac{3\left( 3+\ln 3 \right)}{4}-\frac{3}{2} \right)-\left( \ln 4-\ln 2 \right)$

$=\frac{3}{4}(\ln 3+1)-\ln 2=\frac{3}{4}(\ln 3+1)+\ln \left( \frac{1}{2} \right)$

Vậy $a=\frac{3}{4};b=\frac{1}{2}\Rightarrow T=4a+2b=3+1=4$

Nhận xét: Điểm mấu chốt để xử lí nhanh bài toán nằm ở việc đặt $v=\frac{-1}{x+1}+1=\frac{x}{x+1}$. Một số thí sinh chọn đáp án B vì khi làm đến $I=\frac{3}{4}(\ln 3+1)-\ln 2$không để ý dấu nên suy ra luôn $a=\frac{3}{4};b=2$dẫn đến kết quả sai.