Xét phương trình $\frac{1}{1+{{x}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right.$

Như vậy, thể tích cần tìm sẽ được tính theo công thức: $V=\pi \int\limits_{-1}^{1}{\left| {{f}^{2}}(x)-{{g}^{2}}(x) \right|}dx$

$V=\pi \int\limits_{-1}^{1}{\left| {{\left( \frac{1}{1+{{x}^{2}}} \right)}^{2}}-\frac{{{x}^{4}}}{4} \right|}dx=\pi \left| \int\limits_{-1}^{1}{\frac{1}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}dx}-\int\limits_{-1}^{1}{\frac{{{x}^{4}}}{4}}dx \right|$

$\pi \left| \int\limits_{-1}^{1}{\frac{1}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}dx}-\left. \frac{{{x}^{5}}}{20} \right|_{-1}^{1} \right|=\pi \left| \int\limits_{-1}^{1}{\frac{1}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}dx}-\frac{1}{10} \right|$

$V=\pi \left| I-\frac{1}{10} \right|$ với $I=\int\limits_{-1}^{1}{\frac{1}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}dx}$

Tính I: Đặt $x=\tan t,t\in \left( \frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$

$dx=\frac{1}{{{\cos }^{2}}t}dt=(1+{{\tan }^{2}}t)dt$

Ta có thể viết I lại dưới dạng

$I=\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1+{{\tan }^{2}}t}{{{\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)}^{2}}}dt}=\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{{{\cos }^{2}}tdt}=\frac{1}{2}\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{(1+\cos 2t)dt}$

$\Rightarrow I=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}V=\pi \left| \frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{10} \right|=\frac{{{\pi }^{2}}}{4}+\frac{2\pi }{5}$

Nhận xét: Đây là một bài toán khá khó, đòi hỏi thí sinh phải biết đúng công thức và việc xử lí tích phân khéo léo.