Chúng ta có thể thử bằng cách tính đạo hàm các đáp án và $f(x)=x\sqrt{1+{{x}^{2}}}$  tại cùng một giá trị để chọn đáp án đúng.

Đối với cách làm trực tiếp, đây là một dạng khá cổ điển của bài tập nguyên hàm.

Đặt$\sqrt{1+{{x}^{2}}}=t>0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+1={{t}^{2}}\Leftrightarrow xdx=tdt$

Nguyên hàm cần tính có thể viết lại bằng:

$\int{x}\sqrt{{{x}^{2}}+1}dx=\int{t.t}dt=\int{{{t}^{2}}dt=\frac{{{t}^{3}}}{3}=\frac{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{3}}}{3}}$