Gọi n là số tháng anh cần trả với n tự nhiên

Sau tháng thứ nhất anh còn nợ

${{S}_{1}}={{10}^{9}}.(1+\frac{0,5}{100})-{{30.10}^{6}}={{10}^{9}}.1,005-{{30.10}^{6}}$ đồng

Sau tháng thứ hai anh còn nợ

${{S}_{2}}={{S}_{1}}.1,005-{{12.10}^{6}}=\left( {{10}^{9}}.1,005-{{30.10}^{6}} \right).1,005-{{30.10}^{6}}$

$={{10}^{9}}.1,{{005}^{2}}-{{30.10}^{6}}.\frac{1,{{005}^{2}}-1}{0,005}$đồng

Tiếp tục quá trình trên thì số tiền anh Sơn còn nợ sau n tháng sẽ là

${{S}_{n}}={{10}^{9}}.1,{{005}^{n}}-{{30.10}^{6}}.\frac{1,{{005}^{n}}-1}{0,005}=0$

$\Rightarrow 1,{{005}^{n}}=1,2\Rightarrow n={{\log }_{1,005}}1,2\approx 36,555$

Do đó sau 37 tháng sẽ trả hết nợ tức 3 năm 1 tháng