Phương trình hoành độ giao điểm

$\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-x+m+\frac{2}{3}=0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{3}{{x}^{2}}+\left( \frac{1}{3}-m \right){{x}^{2}}-\left( \frac{1}{3}-m \right)x-\left( m+\frac{2}{3} \right)x+m+\frac{2}{3}=0$

$\Leftrightarrow (x-1)\left( \frac{1}{3}{{x}^{2}}+\left( \frac{1}{3}-m \right)x-m-\frac{2}{3} \right)=0$

$\left[ \begin{align} & x=1 \\ & \frac{1}{3}{{x}^{2}}+\left( \frac{1}{3}-m \right)x-m-\frac{2}{3}=0(*) \\ \end{align} \right.$

Để m thỏa mãn điều kiện đề bài thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$  đều khác 1 và ${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}<6$

Áp dụng Vi-et ta có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{m}{3}-1;{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-\frac{m}{3}-2$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{1}{3}+\frac{1}{3}-m-m-\frac{2}{3}\ne 0 \\ & \Delta ={{\left( \frac{1}{3}-m \right)}^{2}}+4\frac{1}{3}.\left( m+\frac{2}{3} \right)>0 \\ & {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}<6 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne 0 \\ & {{m}^{2}}+\frac{2}{3}m+1>0 \\ & {{\left( \frac{m}{3}-1 \right)}^{2}}+2\left( \frac{m}{3}+2 \right)<6 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne 0 \\ & {{m}^{2}}<9 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\in \left[ -3;3 \right]\backslash \left\{ 0 \right\}$

Vậy các giá trị nguyên của m là -3; -2; -1; 1; 2; 3. Có tất cả 6 giá trị

Sai lầm thường gặp: Không chú ý đến điều kiện phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt nhưng phải khác 1.