Ta có $I\left( 1+t;-t;2t \right)$. Mặt cầu tiếp xúc với hai mặt phẳng do đó $d\left( I;\left( P \right) \right)=d\left( I;\left( Q \right) \right)=R$

$\Leftrightarrow \frac{\left| 1+t+2t-2.2t+5 \right|}{\sqrt{1+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{\left| 2.\left( 1+t \right)+t+2.2t+4 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}$

$\Leftrightarrow \left| -t+6 \right|=\left| 7t+6 \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=0 \\ & t=-2 \\ \end{align} \right.$

Với $t=0$ thì $I\left( 1;0;0 \right)$ và $R=2$, khi đó $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-3=0$

Với $t=-2$ thì $I\left( -1;2;-4 \right)$ (không có phương trình thỏa mãn)