Mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+6z=0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=14$

Suy ra mặt cầu (S) có tâm $I\left( 1;-2;-3 \right)$

Khoảng cách từ I đến $\left( \alpha  \right):4x-2y+3z+1=0$ là $d=\frac{\left| 4.1-2.\left( -2 \right)+3.\left( -3 \right)+1 \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}}=0$

Vậy mặt cầu (S) không tiếp xúc với $\left( \alpha  \right)$; $\left( \alpha  \right)$ đi qua I và $\left( \alpha  \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo một đường tròn