Gọi giao điểm của AC và BD là O thì:$SO\bot (ABCD)\Rightarrow \angle SAO=\varphi $

Gọi trung điểm của AB là M thì:$\left\{ \begin{align} & OM\bot AB \\ & SM\bot AB \\ \end{align} \right.\Rightarrow \angle \left( (SAB),(ABCD) \right)=\angle SMO$

Tam giác OAB vuông cân tại O nên:$OM=\frac{a}{2};AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SO=\frac{a\sqrt{2}}{2}\tan \varphi $

Do đó: ${{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SO=\frac{1}{3}.{{a}^{2.}}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.tan\varphi =\frac{\sqrt{2}}{6}.{{a}^{3}}.tan\varphi $

Vậy đáp án đúng là C