Do SAB vuông cân tại S có SI là trung tuyến nên $SI\bot AB$:

$\left\{ \begin{align} & (SAB)\bot (ABC) \\ & AB=(SAB)\cap (ABC)\Rightarrow SI\bot (ABC) \\ & AB\bot SI\subset (SAB) \\ \end{align} \right.$

Gọi K là trung điểm đoạn AC thì IK||BC nên $IK\bot AB$

Ta còn có, $AC\bot SI$ do đó $AC\bot SK$

Suy ra, góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) là SKI=60⁰

Ta có $SI=IK.tanSKI=\frac{1}{2}.BC.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}$

Và $AB=2SI=2a\sqrt{3}$$\Rightarrow AC=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}}=2a\sqrt{2}$

$\begin{align} & {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SI=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.AC.BC.SI \\ & =\frac{1}{6}.2a.\sqrt{2}.2a.a\sqrt{3}=\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3} \\ \end{align}$

Vậy đáp án đúng là C