Dễ thấy các khẳng định 1 và 4 là sai. Bây giờ ta sẽ kiểm tra các khẳng định 2 và 3

Khẳng định 2: Thay f(x) = x và g(x) = $\frac{1}{{{x}^{2}}}$

Khi đó $\int{f\left( x \right)g\left( x \right)dx=\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|}+c$

Và

$\int{f\left( x \right)g\left( x \right)dx=\int{xdx}\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}dx=}\left( \frac{{{x}^{2}}}{2}+\alpha  \right)\left( \frac{-1}{x}+\beta  \right)}=-\frac{x}{2}+\frac{\beta {{x}^{2}}}{2}-\frac{\alpha }{x}+\alpha \beta $

Rõ ràng $-\frac{x}{2}+\frac{\beta {{x}^{2}}}{2}-\frac{\alpha }{x}+\alpha \beta \ne \ln \left| x \right|+c$ nên khẳng định 2 là sai.

Khẳng định 3: Giả sử F(x) là nguyên hàm của

$f(x)\Rightarrow F(x)=\int{f(x)dx}$

$\Rightarrow \int{(f(x)\int{f(x)dx})dx}=\int{f(x)F(x)dx=\int{F(x)d\left( F(x) \right)}}$

$\Rightarrow {{F}^{2}}(x)-\int{F(x)d(F(x))+c}={{F}^{2}}(x)-\int{f(x)F(x)dx+c}$

$\begin{align} & \Rightarrow 2\int{(f(x)\int{f(x)dx)dx=}{{F}^{2}}(x)+c}={{\left( \int{f(x)dx} \right)}^{2}}+c \\ & \Rightarrow \int{(f(x)\int{f(x)dx})dx=}\frac{1}{2}{{\left( \int{f(x)dx} \right)}^{2}}+c \\ \end{align}$

=>Khẳng định 3 đúng

Đáp án đúng là C

Nhận xét: Đây là một trong những câu khó đòi hỏi học sinh phải hiểu thật kỹ kiến thức về nguyên hàm của hàm số