Toán 8 - Phương pháp đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức

Ngày đăng: 17/11/2022

 

TOÁN 8 - PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG VÀ DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC

A. Các ví dụ

1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng pp đặt nhân tử chung

VD: Viết \[2{{x}^{2}}-4x\] thành một tích của những đa thức.

VD: Tìm x biết ${{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x=0$

HD:  ${{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x=0\Rightarrow x\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin{align}

  & x=0 \\

 & {{x}^{2}}+x+1=0 \\

\end{align} \right.\Rightarrow \left[ \begin{align}

  & x=0 \\

 & {{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}=0\,(loai) \\

\end{align} \right.$

2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng pp dùng hằng đẳng thức

VD: Biến đổi thành tích $16{{x}^{2}}-1$

HD: $16{{x}^{2}}-1={{\left( 4x \right)}^{2}}-1=\left( 4x-1 \right)\left( 4x+1 \right)$

VD: Tìm x biết ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+2=0$

HD: ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+2={{\left( x+1 \right)}^{3}}+1=\left( x+2 \right)\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}-\left( x+1 \right)+1 \right]=\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)=0$

$\Rightarrow \left[ \begin{align}

  & x=-2 \\

 & {{x}^{2}}+x+1={{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}=0\left( loai \right) \\

\end{align} \right.$

B. Bài tập

1. Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

Câu 1. Phân tích thành nhân tử

1. a) \[{{x}^{3}}y-2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+5xy\] b) \[3\left( x-y \right)-5y+5x\] c) \[5\left( x+3y \right)-15{{x}^{2}}-45xy\]

Câu 2. Hãy phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1. a) $x\left( x-2 \right)+2\left( 2-x \right)$ b) $4{{\left( x+1 \right)}^{3}}-x-1$ c) $5x\left( x-3 \right)+{{\left( x-3 \right)}^{2}}-\left( x-3 \right)$

Hướng dẫn giải

1. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}$ b. $\left( x+1 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 2x+3 \right)$ c. $2\left( x-3 \right)\left( 3x-2 \right)$

Câu 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1. a) ${{(3\text{x}-1)}^{2}}-16$ b) ${{(5\text{x}-4)}^{2}}-49{{\text{x}}^{2}}$ c) ${{(2\text{x}+5)}^{2}}-{{(x-9)}^{2}}$
2. d) ${{(3\text{x}+1)}^{2}}-4{{(x-2)}^{2}}$ e) $9{{(2\text{x}+3)}^{2}}-4{{(x+1)}^{2}}$ f) ${{(4{{\text{x}}^{2}}-3\text{x}-18)}^{2}}-{{(4{{\text{x}}^{2}}+3\text{x})}^{2}}$
3. g) $9{{(x+y-1)}^{2}}-4{{(2\text{x}+3y+1)}^{2}}$

Hướng dẫn giải

1. ${{(3x-1)}^{2}}-16={{\left( 3x-1 \right)}^{2}}-{{4}^{2}}=\left( 3x-1-4 \right)\left( 3x-1+4 \right)=\left( 3x-5 \right)\left( 3x+3 \right)=3\left( x+1 \right)\left( 3x-5 \right)$
2. ${{(5x-4)}^{2}}-49{{x}^{2}}={{(5x-4)}^{2}}-{{\left( 7x \right)}^{2}}=\left( 5x-4-7x \right)\left( 5x-4+7x \right)$

$=\left( -2x-4 \right)\left( 12x-4 \right)=-8\left( x+2 \right)\left( 3x-2 \right)$

1. ${{(2x+5)}^{2}}-{{(x-9)}^{2}}=\left( 2x+5-x+9 \right)\left( 2x+5+x-9 \right)=\left( x+14 \right)\left( 3x-4 \right)$
2. ${{(3x+1)}^{2}}-4{{(x-2)}^{2}}={{(3x+1)}^{2}}-{{\left[ 2(x-2) \right]}^{2}}={{(3x+1)}^{2}}-{{(2x-4)}^{2}}$

$=\left( 3x+1-2x+4 \right)\left( 3x+1+2x-4 \right)=\left( x+5 \right)\left( 5x-3 \right)$    

1. $9{{(2x+3)}^{2}}-4{{(x+1)}^{2}}={{\left[ 3\left( 2x+3 \right) \right]}^{2}}-{{\left[ 2\left( x+1 \right) \right]}^{2}}$

$={{\left( 6x+9 \right)}^{2}}-{{\left( 2x+2 \right)}^{2}}=\left( 6x+9-2x-2 \right)\left( 6x+9+2x+2 \right)=\left( 4x+7 \right)\left( 8x+11 \right)$

1. ${{(4{{x}^{2}}-3x-18)}^{2}}-{{(4{{x}^{2}}+3x)}^{2}}$

$\begin{align}

  & =\left( 4{{x}^{2}}-3x-18-4{{x}^{2}}-3x \right)\left( 4{{x}^{2}}-3x-18+4{{x}^{2}}+3x \right) \\

 & =\left( -6x-18 \right)\left( 8{{x}^{2}}-18 \right)=-6\left( x+3 \right)2\left( 4{{x}^{2}}-9 \right)=-12\left( x+3 \right)\left( 2x-3 \right)\left( 2x+3 \right) \\

\end{align}$  

1. $9{{(x+y-1)}^{2}}-4{{(2x+3y+1)}^{2}}$

$\begin{align}

  & ={{\left[ 3\left( x+y-1 \right) \right]}^{2}}-{{\left[ 2\left( 2x+3y+1 \right) \right]}^{2}}={{\left( 3x+3y-3 \right)}^{2}}-{{\left( 4x+6y+2 \right)}^{2}} \\

 & =\left( 3x+3y-3-4x-6y-2 \right)\left( 3x+3y-3+4x+6y+2 \right) \\

 & =\left( -x-3y-5 \right)\left( 7x+9y-1 \right)=-\left( x+3y+5 \right)\left( 7x+9y-1 \right) \\

\end{align}$

Câu 4. Phân tích thành nhân tử

1. a) \[{{\left( ax+by \right)}^{2}}-{{\left( ay+bx \right)}^{2}}\] b) \[{{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}-4{{m}^{2}}+4mn-{{n}^{2}}\] c) $4{{b}^{2}}{{c}^{2}}-{{\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}^{2}}$

HD:

1. a)

Cách 1:\[{{\left( ax+by \right)}^{2}}-{{\left( ay+bx \right)}^{2}}=\left( ax+by-ay-bx \right)\left( ax+by+ay+bx \right)\]

\[=\left[ a\left( x-y \right)-b\left( x-y \right) \right]\left[ a\left( x+y \right)+b\left( x+y \right) \right]=\left( a-b \right)\left( a+b \right)\left( x-y \right)\left( x+y \right)\]

Cách 2: bình phương và rút gọn.

1. b) \[{{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}-4{{m}^{2}}+4mn-{{n}^{2}}={{\left( x-y \right)}^{2}}-{{\left( 2m-n \right)}^{2}}=\left( x-y-2m+n \right)\left( x-y+2m-n \right)\]
2. c) $\begin{align}

  & 4{{b}^{2}}{{c}^{2}}-{{\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}^{2}}=\left( 2bc+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}} \right)\left( 2bc-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}+{{a}^{2}} \right) \\

 & =\left[ {{\left( b+c \right)}^{2}}-{{a}^{2}} \right]\left[ {{a}^{2}}-{{\left( b-c \right)}^{2}} \right]=... \\

\end{align}$

2. Dạng 2: Tính giá trị biểu thức

Câu 5. Tính hợp lí

256. a) ${{202}^{2}}-{{54}^{2}}+256.352$ b) $\frac{{{43}^{2}}-{{11}^{2}}}{{{\left( 36.5 \right)}^{2}}+{{\left( 37.5 \right)}^{2}}}$ c) $\frac{{{97}^{2}}+{{83}^{3}}}{180}-97.83$

HD:

3. Dạng 3: Tìm \[x\] thoả mãn biểu thức

Câu 6. Tìm x biết

1. a) \[\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( x-2 \right)+2x=4\] b) \[{{x}^{3}}-4x-14x\left( x-2 \right)=0\]

HD:

1. a) \[\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( x-2 \right)+2x=4\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( x-2 \right)+2\left( x-2 \right)=0\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+3 \right)=0\]

\[\Leftrightarrow x-2=0\] (vì \[{{x}^{2}}+3>0\forall x\]) \[\Leftrightarrow x=2\] .

1. b) \[{{x}^{3}}-4x-14x\left( x-2 \right)=0\Leftrightarrow x\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)-14x\left( x-2 \right)=0\]

\[\Leftrightarrow x\left( x-2 \right)\left( x-12 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

  & x=0 \\

 & x=2 \\

 & x=12 \\

\end{align} \right.\]

Câu 7. Tìm \[x\] biết:

1. a) \[{{x}^{2}}\left( x+1 \right)-x\left( x+1 \right)+x\left( x-1 \right)=0\] b) \[{{x}^{3}}+\frac{3}{2}{{x}^{2}}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{8}=\frac{1}{64}\]  
2. c) \[{{\left( 2x-5 \right)}^{2}}-{{\left( 5+2x \right)}^{2}}=0\]

HD:                            

1. a) \[{{x}^{2}}\left( x+1 \right)-x\left( x+1 \right)+x\left( x-1 \right)=0=x\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)+x\left( x-1 \right)\]

\[\Leftrightarrow x\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

  & x=-2 \\

 & x=0 \\

 & x=1 \\

\end{align} \right.\]

1. b) \[{{x}^{3}}+\frac{3}{2}{{x}^{2}}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{8}=\frac{1}{64}\Leftrightarrow {{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{3}}=\frac{1}{64}\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=-\frac{1}{4}\]
2. c) \[{{\left( 2x-5 \right)}^{2}}-{{\left( 5+2x \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( 2x-5 \right)}^{2}}={{\left( 5+2x \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

  & 2x-5=5+2x\left( VN \right) \\

 & 5-2x=5+2x\Leftrightarrow x=0 \\

\end{align} \right.\]

4. Dạng 4: Giải các bài toán chứng minh

Câu 8. Cho a,b,c là các số hữu tỉ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$, chứng minh

$\left( {{a}^{2}}+1 \right)\left( {{b}^{2}}+1 \right)\left( {{c}^{2}}+1 \right)$ là bình phương của một số hữu tỉ.

HD:

${{a}^{2}}+1={{a}^{2}}+ab+bc+ca=\left( a+b \right)\left( a+c \right)$.

Tương tự với ${{b}^{2}}+1;{{c}^{2}}+1$.

Vậy $\left( {{a}^{2}}+1 \right)\left( {{b}^{2}}+1 \right)\left( {{c}^{2}}+1 \right)={{\left[ \left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right) \right]}^{2}}$

Câu 9. Chứng minh rằng:

1. a) \[{{25}^{n+1}}-{{25}^{n}}\] chia hết cho 100 với mọi số tự nhiên \[n\].
2. b) \[{{\left( n+3 \right)}^{2}}-{{\left( n-1 \right)}^{2}}\] chia hết cho 8 với mọi số nguyên \[n\].

HD:

24. a) \[{{25}^{n+1}}-{{25}^{n}}={{25}^{n}}\left( 25-1 \right)={{24.25}^{n}}\]

Vì \[{{25}^{n}}\vdots 25;24\vdots 4\] và \[\left( 25,4 \right)=1\] nên \[\left( {{24.25}^{n}} \right)\vdots \left( 25.4=100 \right)\]

Hay \[{{25}^{n+1}}-{{25}^{n}}\vdots 100\]

1. b) \[{{\left( n+3 \right)}^{2}}-{{\left( n-1 \right)}^{2}}=4\left( 2n+2 \right)=8\left( n+1 \right)\]

Vì \[n\in \mathbb{Z}\Rightarrow n+1\in \mathbb{Z}\Rightarrow 8\left( n+1 \right)\vdots 8\]

Hay \[{{\left( n+3 \right)}^{2}}-{{\left( n-1 \right)}^{2}}\] chia hết cho 8 với mọi số nguyên \[n\].

 

Để đăng kí học trực tuyến qua video, qua zoom, anh chị phụ huynh vui lòng liên hệ qua SĐT thầy Long 0832646464 để được tư vấn!

Hệ thống Vinastudy chúc các con học tốt!.

Tác giả: Vinastudy

 Cộng đồng zalo giải đáo bài tập 

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé 

Con sinh năm 2009	https://zalo.me/g/cieyke829
Con sinh năm 2010	https://zalo.me/g/seyfiw173
Con sinh năm 2011	https://zalo.me/g/jldjoj592
Con sinh năm 2012	https://zalo.me/g/ormbwj717
Con sinh năm 2013	https://zalo.me/g/lxfwgf190
Con sinh năm 2014	https://zalo.me/g/bmlfsd967
Con sinh năm 2015	https://zalo.me/g/klszcb046

********************************

Hỗ trợ học tập:

_Kênh Youtube:http://bit.ly/vinastudyvn_tieuhoc

_Facebook fanpage:https://www.facebook.com/767562413360963/

_Hội học sinh Vinastudy Online:https://www.facebook.com/groups/online.vinastudy.vn/