VINASTUDY - HỆ THỐNG GIÁO DỤC TRỰC TUYẾN DÀNH CHO HỌC SINH TỪ LỚP 1 - 12

GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn

Vui lòng đăng nhập để thực hiện hành động này !

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ HỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA CĂN

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1,$f\left( x \right)\ge {{A}^{2}}+m\ge m$ $\Rightarrow f\left( x \right)\ge m$ $\Rightarrow m=GTNN\,cua\,f\left( x \right)$

2,$f\left( x \right)=-{{A}^{2}}+m\le m$ $\Rightarrow f\left( x \right)\le m$$\Rightarrow m=GTLN\,cua\,f\left( x \right)$

3, $f\left( x \right)=A+\frac{m}{B}$ cần lưu ý đánh giá B

4,${{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$

${{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}+2\sqrt{x}+1$

${{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab-{{b}^{2}}$

II, BÀI TẬP

VD: Tìm GTLN và GTNN của:

Giải

$P={{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}-\sqrt{x}+1$

 $=\left( {{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}-2.\sqrt{x}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \right)+\frac{3}{4}$

$={{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}$

Do ${{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0$ nên $P\ge \frac{3}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

Vây GTLN của $P=\frac{3}{4}$ khi $x=\frac{1}{4}$

VD: $Q=x+\sqrt{x}+1\left( x\ge 0 \right)$

$Q={{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}+2\sqrt{x}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}$

$={{\left( \sqrt{x}+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}$

Với $x\ge 0\Rightarrow {{\left( \sqrt{x}+\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge \frac{1}{4}$

Vậy $Q\ge \frac{1}{4}+\frac{3}{4}$ => $Q\ge 1$

Dấu “=” xảy ra khi x=0

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q=1 khi x=0

VD: tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của $P=-x+\sqrt{x}$ với $x\ge 0$

$P=-x+\sqrt{x}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$

$=-\left( {{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}-\sqrt{x}+\frac{1}{4} \right)+\frac{1}{4}$ $=-{{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{1}{4}$

Do ${{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0\forall x\in \text{D}$

$\Rightarrow -{{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\le 0$

$\Rightarrow P\le \frac{1}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

Vậy GTLN của $P=\frac{1}{4}$ khi $x=\frac{1}{4}$

VD: Tìm GTLN hoặc GTNN của $A=\frac{3}{x-\sqrt{x}+2}\left( x\ge 0 \right)$

Giải

Tử số không thay đổi,ta đánh giá mẫu số

$={{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{7}{4}\ge \frac{7}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi$\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0$ $x=\frac{1}{4}$

Vậy giá trị lớn nhất cuả A là $\frac{12}{17}$

VD: tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức $B=\frac{3\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+2}$ VỚI $x\ge 0$

                                                                            $=\frac{\left( 3\sqrt{x}+6 \right)+2}{\sqrt{x}+2}$

                                                                            $=3+\frac{2}{\sqrt{x}+2}$

Do $x\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}+2\ge 2$ $\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{x}+2}\le 1$ $B=3+\frac{2}{\sqrt{x}+2}\le 4$

Dấu “=” xảy ra khi x=0

Vậy  GTLN của  B = 4 khi x=0

Xem thêm

Bình luận

ĐỀ CƯƠNG KHOÁ HỌC

1. Bài Giảng Học Thử

2. CHUYÊN ĐỀ 1: CĂN THỨC

3. CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT

4. CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

5. CHUYÊN ĐỀ 4: ĐƯỜNG TRÒN.

6. CHUYÊN ĐỀ 5: HÀM SỐ BẬC HAI

7. CHUYÊN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH

8. CHUYÊN ĐỀ 7: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

9. CHUYÊN ĐỀ 8: HỆ PHƯƠNG TRÌNH

10. CHUYÊN ĐỀ 9: Giải bài toán bằng cách lập phương trình - Hệ phương trình

11. CHUYÊN ĐỀ 10: BẤT PHƯƠNG TRÌNH.

12. CHUYÊN ĐỀ 11: TỨ GIÁC NỘI TIẾP

/bai-toan-tong-hop-bh28165.html
Thời gian làm việc
Thời gian làm việc

Bản quyền thuộc về trung tâm Vinastudy